贝克莱悖论的解决

笼统地说,贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言,它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言,这无疑是一个矛盾.
　　在微积分当中,无穷小量是在讨论数列、函数的极限、导数等最为基础的概念必不可少的概念.为了避免或者消解悖论,无穷小量并不是一个确定的数值,而是一串无限运算而趋近的量.它永远不可能等于零,但却无限趋向于零.简单来说,就是无穷小的极限就是零.
　　这是贝克莱悖论的由来：
　　1734年,大主教乔治•贝克莱(George Berkeley) “渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文,其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达,或更明显的推理》.在这本书中,贝克莱对牛顿的理论进行了攻击.例如他指责牛顿,为计算比如说x2的导数,先将x取一个不为0的增量Δx,由(x + Δx)2 − x2 ,得到2xΔx + (Δx2) ,后再被Δx除,得到2x + Δx,最后突然令Δx = 0 ,求得导数为2x .这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”.因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零,一会儿又说不是零.因此,贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”.贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的,但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷,是切中要害的.数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”.