已知函数f（x）=x|x-a|+2x.若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（ ） A.(98，54) B.(1，2524) C.(1，98) D.(1，54)
已知函数f（x）=x|x-a|+2x.若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A. (
，9 8
)5 4
B. (1，
)25 24
C. (1，
)9 8
D. (1，
) 5 4
当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，…（2分）
则当a∈（2，3]时，由f（x）=
，
x2+(2−a)x，x≥a −x2+(2+a)x，x＜a
得x≥a时，f（x）=x2+（2-a）x，对称轴x=
＜a，a−2 2
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a时，f（x）=-x2+（2+a）x，对称轴x=
＜a，a+2 2
则f（x）在x∈（-∞，
]为增函数，此时f（x）的值域为（-∞，a+2 2
]，(a+2)2
4
f（x）在x∈[
，a）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，a+2 2
]；(a+2)2 4
由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
则2ta∈（2a，
），(a+2)2 4
即存在a∈（2，3]，使得t∈（1，
）即可，(a+2)2 8a
令g（a）=
=(a+2)2 8a
（a+1 8
+4），4 a
只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函数，
∴（g（a））max=g（3）=
，25 24
故实数t的取值范围为（1，
）；…（15分）25 24
同理可求当a∈[-3，-2）时，t的取值范围为（1，
）；25 24
综上所述，实数t的取值范围为（1，
）．…（17分）25 24
故选B．