双曲线X2/a2+Y2/b2=1(a>o,b>0)的右支上存在一点,它到右焦点和左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是?
问题描述：
双曲线X2/a2+Y2/b2=1(a>o,b>0)的右支上存在一点,它到右焦点和左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是?
答案是（1,根号2+1]
答
双曲线是X2/a2-Y2/b2=1
设到右焦点和左准线距离是m
由双曲线定义,因为他在右支
到左焦点距离=2a+m
由双曲线第二定义
到左焦点距离除以到左准线距离=e
所以(2a+m)/m=e
2a/m+1=e
因为右支顶点是(a,0),右准线x=a²/c
距离是a-a²/c
显然这点到右准线距离大于等于a-a²/c
而这点到右焦点距离除以到右准线距离=e
所以这点到右准线距离=m/e>=a-a²/c
由2a/m+1=e
m=2a/(e-1)
所以2a/[e(e-1)]>=a-a²/c
把a约分
2/[e(e-1)]>=1-a/c
a/c=1/e
所以2/[e(e-1)]>=1-1/e=(e-1)/e
因为双曲线e>1,e-1>0
两边乘e(e-1)
2>=(e-1)²
e-1>0
所以0