设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的公比q； （Ⅱ）求证：a3，a9，a6成等差数列； （Ⅲ）当am，as，at（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等）成等差数列时
问题描述：
设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的公比q；
（Ⅱ）求证：a3，a9，a6成等差数列；
（Ⅲ）当am，as，at（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等）成等差数列时，求m+s+t的值．
答
（Ⅰ）当q=1时，S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，
∵2S9≠S3+S6，∴S3，S9，S6不成等差数列，与已知矛盾，
∴q≠1．（2分）
由2S9=S3+S6得：2•
＝
a1(1−q9) 1−q
+
a1(1−q3) 1−q
，（4分）
a1(1−q6) 1−q
即2（1-q9）=（1-q3）+（1-q6）⇒2q6-q3-1=0，
∴q3＝−
⇒q＝−1 2
，q3=1⇒q=1（舍去），∴q＝−
3
1 2
（6分）
3
4
2
（Ⅱ）∵2a9-a3-a6=2a1q8-a1q2-a1q5=a1q2（2q6-1-q3）=0，
∴2a9=a3+a6，∴a3，a9，a6成等差数列．（9分）
（Ⅲ）S3，S9，S6成等差数列⇔2q6-q3-1=0⇔2q6=q3+1⇔2a1q6=a1q3+a1⇔2a7=a4+a1，
∴a1，a7，a4成等差数列或a4，a7，a1成等差数列，则m+s+t=12，（11分）
同理：a2，a8，a5成等差数列或a5，a8，a2成等差数列，则m+s+t=15，
a3，a9，a6成等差数列或a6，a9，a3成等差数列，则m+s+t=18，
a4，a10，a7成等差数列或a7，a10，a4成等差数列，则m+s+t=21，
∴m+s+t的值为12，15，18，21．（15分）