已知P（m，a）是抛物线y=ax2上的点，且点P在第一象限． （1）求m的值 （2）直线y=kx+b过点P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M． ①当b=2a时，∠OPA=90°是否成立？如果成立，请证明；如
问题描述：
已知P（m，a）是抛物线y=ax2上的点，且点P在第一象限．
（1）求m的值
（2）直线y=kx+b过点P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M．
①当b=2a时，∠OPA=90°是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；
②当b=4时，记△MOA的面积为S，求
的最大值． 1 s
答
（1）m2a=a（a＞0），
m2=1（m＞0），
即m=1；
（2）当a=1时，∠OPA=90°成立，即当a＞0且a≠1时，∠OPA=90°不成立．
①b=2a，y=kx+2a，
P在直线上，则a=k+2a，即a=-k（k＜0）
则kx+2a=0，即x=-
＝−2a k
=2，−2k k
A（2，0）
-kx2=kx-2k⇒x2+x-2=0⇒（x+2）（x-1）=0，x=-2或x=1
M（-2，4a）
∠OPA=90°
即a2=1，a=1
k=-1，y=-x-2，y=x2
P（1，1）
故当a=1时，∠OPA=90°成立，即当a＞0且a≠1时，∠OPA=90°不成立；
②当b=4时，直线y=kx+b即为直线y=kx+4，
kx+4=0⇒x=-
4 k
又∵直线y=kx+4过点P（1，a），
∴k+4=a⇒k=a-4，
（a-4）x+4=ax2
即ax2-（a-4）x-4=0
即（ax+4）（x-1）=0
∴S=
•4 4−a
•16 a
=1 2
32 4a−a2
=1 S
a-1 8
a2=-1 32
（a-2）2+1 32
，1 8
∴当a=2时，
max=1 S
．1 8