设函数f（x）=alnx+2a2x（a≠0）． （1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，求实数a的值； （2）讨论函数f（x）的单调性； （3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内
问题描述：
设函数f（x）=alnx+
（a≠0）．2a2
x
（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，求实数a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．
答
∴x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，
从而也是g（x）的最小值点，
∴g（x）≥g（1）=ln1+2+1-3=0，
∴g（x）=f（x）-（3-x）≥0，
∴对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．
（1）∵f(x)＝alnx+
(a≠0)，2
a
2
x
∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，
f′(x)＝
−a x
，2a2
x2
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，
∴f′（1）=a-2a2=2-3a，
解得a=1．
（2）f′(x)＝
−a x
=2a2
x2
，a(x−2a) x2
①当a＜0时，∵x＞0，∴x-2a＞0，a（x-2a）＜0，
∴f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，若0＜x＜2a，则a（x-2a）＜0，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，2a）上单调递减；
若x＞2a，则a（x-2a）＞0，f′（x）＞0，函数在（2a，+∞）上单调递增．
综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．
（3）由（1）知，f（x）=lnx+
，2 x
设g（x）=f（x）-（3-x），则g（x）=lnx+
+x-3，2 x
∴g′(x)＝
−1 x
+1=2 x2
=
x2+x−2 x2
，x＞0(x−1)(x+2) x2
当x变化时，g′（x），g（x）的变化如下表：
| x | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| g′（x） | - | 0 | + |
| g（x） | ↓ | 极小值 | ↑ |
从而也是g（x）的最小值点，
∴g（x）≥g（1）=ln1+2+1-3=0，
∴g（x）=f（x）-（3-x）≥0，
∴对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．