已知函数f（x）=sin（2x+π6）+sin（2x-π6）+2cos2x（x∈R）． （1）求函数f（x）的最大值及此时自变量x的取值集合； （2）求函数f（x）的单调递增区间； （3）求使f（x）≥2的x的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=sin（2x+
）+sin（2x-π 6
）+2cos2x（x∈R）．π 6
（1）求函数f（x）的最大值及此时自变量x的取值集合；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求使f（x）≥2的x的取值范围．
答
f（x）=sin2xcos
+cos2xsinπ 6
+sin2xcosπ 6
-cos2xsinπ 6
+1+cos2x=2sin2xcosπ 6
+cos2x+1=π 6
sin2x+cos2x+1=2sin（2x+
3
）+1π 6
（1）f（x）取得最大值3，此时2x+
=π 6
+2kπ，即x=π 2
+kπ，k∈Zπ 6
故x的取值集合为{x|x=
+kπ，k∈Z}π 6
（2）由2x+
∈[-π 6
+2kπ，π 2
+2kπ]，（k∈Z）得，x∈[-π 2
+kπ，π 3
+kπ]，（k∈Z）π 6
故函数f（x）的单调递增区间为[-
+kπ，π 3
+kπ]，（k∈Z）π 6
（3）f（x）≥2⇔2sin（2x+
）+1≥2⇔sin（2x+π 6
）≥π 6
⇔1 2
+2kπ≤2x+π 6
≤π 6
+2kπ⇔kπ≤x≤5π 6
+kπ，（k∈Z）π 3
故f（x）≥2的x的取值范围是[kπ，
+kπ]，（k∈Z）π 3