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以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为（　　）A. 10−23B. 5−13C. 5−12D. 10−22

分类: 作业答案 • 2021-12-18 17:01:25
问题描述：

以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为（　　）
A.

10
−
 2
3

B.
5
−1
3

C.
5
−1
2

D.
10
−
 2
2

答

设正方形边长为2，设正方形中心为原点
则椭圆方程为

x2
a2
+
y2
b2
 =1
且c=
 2

∴a2-b2=c2=2①
正方形BC边的中点坐标为（
1
 2
，
1
 2
）
代入方程得到
1
2a2
+
1
2b2
=1②
联立①②解得a=
1+
 5
2

∴e=
c
a
=
 10
-
 2
2
．
故选D．
答案解析：设正方形边长为2，设正方形中心为原点，设椭圆的标准方程，则可知c，的a和b的关系式，进而求得BC的中点坐标代入椭圆方程，得到a和b的另一关系式，最后联立求得a，则椭圆的离心率可得．
考试点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．

知识点：本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生熟练掌握椭圆标准方程中，a，b和c及离心率e的关系．

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