二重积分x*cos(x+y),其中D是顶点分别为(0,0),(π,0),(π,π)围成的三角形区域.
问题描述：
二重积分x*cos(x+y),其中D是顶点分别为(0,0),(π,0),(π,π)围成的三角形区域.
计算二重积分xcos(x+y)dσ ,其中D是顶点分别为(0,0),(π,0)和(π,π)的三角形闭区域.
∬xcos(x+y)dxdy
=[0,π]∫xdx∫[0,x]cos(x+y)d(x+y)
=[0,π]∫xdx[sin(x+y)]︱[0,x]
①式 =[0,π]∫x(sin2x-sinx)dx
=[0,π][∫xsin2xdx-∫xsinxdx]
=[0,π][-(1/2)∫xd(cos2x)+∫xd(cosx)]
②式 =[0,π]{-(1/2)[xcos2x-∫cos2xdx]+[xcosx-∫cosxdx]}
=[0,π]{-(1/2)[xcos2x-(1/2)sin2x]+[xcosx-sinx]}
=[0,π]{-(1/2)xcos2x+(1/4)sin2x+xcosx-sinx}
=-(1/2)π-π
=-(3/2)π
其中一式和2式都是怎么来的?
答
①式是将积分上限x和下限0代入y得到的；
②式是对两个积分使用 分部积分公式 得到的②式明白了谢谢。①式将积分区域代进去，不应该是[0，π]∫xsin2x dx么在①式的前一步=[0，π]∫xdx[sin(x+y)]︱[0，x]，
对y，代入上限x得到[0，π]∫xsin2x dx，代入下限0得打[0，π]∫xsinx dx，两者相减即为①式