证明多项式f(x)=x^3+3x+1在有理数域上不可约大学高等代数求帮助!
问题描述：
证明多项式f(x)=x^3+3x+1在有理数域上不可约
大学高等代数求帮助!
答
一个3次多项式若在有理数域上可约则必含有有理的1次因子.
换句话说必须有有理根.
假设f(x)有有理根p/q,其中p,q为互质的整数.
f(x)作为整系数多项式,可以证明p整除常数项,而q整除首项系数.
对f(x) = x^3+3x+1来说,只有p/q = 1或-1.
但容易验证1和-1都不是f(x)的根,因此f(x)没有有理根,故在有理数域上不可约.
注意,对于4次及以上的有理系数多项式,
没有有理根只是在有理数域上不可约的必要非充分条件.