等差数列构造法求通项公式的公式是什么

在高中数学教材中,有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式.但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式.而这些题目往往可以用构造法,根据递推公式构造出一个新数列,从而间接地求出原数列的通项公式.对于不同的递推公式,我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列.下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列.例如：中,若求a n +4,即＝４,｝是等差数列.可以通过等差数列的通项公式求出 ,然再求后数列{ a n }的通项.练习：1)数列{ a n }中,a n ≠0,且满足 求a n 2)数列{ a n }中,求a n 通项公式.3)数列{ a n }中,求a n .二．构造形如 的数列.例：正数数列{ a n }中,若 设 练习：已知正数数列{ a n }中,,求数列{ a n }的通项公式.三．构造形如 的数列.例：正数数列{ a n }中,若a 1 =10,且求a n .由题意得：,即 .即 练习：（选自2002年高考上海卷） 数列{ a n }中,若a 1 =3,,n是正整数,求数列{ a n }的通项公式.四．构造形如 的数列.例：数列{ a n }中,若a 1 =6,a n+1 =2a n +1,求数列{ a n }的通项公式.a n+1 +1=2a n +2,即a n+1 +1=2（a n +1） 设b n = a n +1,则b n = 2 b n-1 则数列{ b n }是等比数列,公比是2,首项b １ = a １ +1＝7,,构造此种数列,往往它的递推公式形如：.如：a n+1 ＝c a n +d,设可化成a n+1 +x=c(a n +x),a n+1 =c a n +(c-1)x 用待定系数法得：(c-1)x＝d ∴ x= .又如：Ｓ n +a n =n+2,则Ｓ n-1 +a n-1 =n+1,二式相减得：Ｓ n －Ｓ n-1 +a n －a n-1 =１,即a n +a n －a n-1 =１,∴ 2 a n －a n-1 =１,a n = a n-1 + .如上提到b n = a n ＋ d = a n –1 练习：1.数列{ a n }满足a n+1 =3a n +2,求a n 2.数列{ a n }满足Ｓ n +a n =2n+1,求a n 五．构造形如 的数列.例：数列{ a n }中,若a 1 =１,a ２ =3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n N),求a n .a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0得：a n+2 － a n+1 = - 5（a n ＋１ － a n ） 设b n = a n ＋１ －a n ,则数列{ b n }是等比数列,公比是-5,首项b １ = a 2 - a 1 ＝2,∴a n ＋１ －a n =2(-5) n-1 即a ２ －a １ =2(-5) a ３ －a ２ =2(-5) ２ a ４ －a ３ =2(-5) ３ ┄ a n －a n －１ =2(-5) n-2 以上各式相加得：a n －a １ =2［（-5）＋(-5) ２ ＋(-5) ３ ＋┄＋（-5） n-1 ］ 即：a n －a １ =2 ,即,（n 当递推公式中,a n ＋１ 与a n 的系数相同时,我们可构造b n = a n ＋１ －a n ,然后用叠加法得：b 1 +b 2 +b 3 +b 4 +┄+b n = a n -a 1 通过求出数列｛b n ｝前n-1项和的方法,求出数列{ a n }的通项公式.1) 当递推公式中形如:a n+1 =a n +an+b ; a n+1 =a n +q n (q≠1) ; a n+1 =a n +q n +an+b 等情形时,可以构造b n = a n ＋１ －a n ,得:b n = an+b； b n = q n ; b n =q n +an+b.求出数列前n-1项的和T n-1 ,T n-1 = ; T n-1 =； T n-1 = + 即：a n －a １ = ; a n －a １ = ; a n －a １ = + 从而求出 a n =a １ + ; a n = a １ + ; a n =a １ + + .2）当递推公式中形如:a n+1 =a n +；a n+1 =a n +；a n+1 =a n + 等情形 可以构造b n = a n ＋１ －a n ,得:：b n =；b n =；b n = 即b n =；b n =；b n = 从而求出求出数列前n-1项的和T n-1 ,T n-1 =；T n-1 =；T n-1 = 即：a n －a １ = ; a n －a １ = ; a n －a １ = 从而求出 a n =a １ + ; a n = a １ + ; a n =a １ + 练习：1）数列{ a n }中,若a 1 =1,a n+1 -a n =2n,求通项a n.2）数列{ a n }中,若a 1 =1,a n+1 -a n =2 n ,求通项a n.3) 数列{ a n }中,若a 1 =2,,求通项a n.六．构造形如 的形式.例：数列{ a n }中,若a 1 =1,,求a n.由得：∴,… 用累乘法把以上各式相乘得：∴.当递推公式形如：；； 等形式,我们可以构造 .可得:; ; .然后用叠乘法得：.令数列{b n }的前n-1项的积为A n-1 ,则 ； ; 从而得到：；； ；；.练习：1）数列{ a n }中,若a 1 =2,,求a n.七．构造形如 的形式.例：数列{ a n }中,a 1 =2,S n =4a n-1 +1,求a n.S n =4a n-1 +1,S n-1 =4a n-2 +1 二式相减：S n -S n-1 =4a n-1 -4a n-2 a n =4a n-1 -4a n-2 a n -2a n-1 =2（a n-1 -a n-2 ） 设b n =a n+1 -2a n ,当递推公式形如 S n+1 =4a n +2;a n+2 =pa n+1 +qa n (p+q=1) 等形式时,因a n -2a n+1 =2(a n+1 -2a n );a n+2 -a n+1 =(p-1)(a n+1 -a n ),我们构造b n =a n+1 -2a n ; b n =a n+1 -a n ,由等比数列知识得b n =(a 2 -a 1 )·2 n-1 ; b n =(a 2 -a 1 )·(p-1) n-1 从而得到a n+1 =2a n +(a 2 -a 1 )2 n-1 ;a n+1 =a n (a 2 -a 1 )(1-q) n-1 由类型四求出a n .总之,对于很多数列,我们都可以由递推公式构造新数列的方法求出他们的通项公式.当然,在教学中我们应当充分调动学生的积极性,努力培养学生的创造能力,让学生自己去构造,自己去探索,使学生亲尝到成功乐趣,激起他们强烈的求知欲和创造欲.