若正整数a,b使等式a+(a+b)(a+b−1)2=2009成立,则a=_,b=_.

问题描述:

若正整数a,b使等式a+

(a+b)(a+b−1)
2
=2009成立,则a=______,b=______.

原方程变形为:(a+b)2+(a-b)=4018,
不妨设a≥b>0,x=a+b,y=a-b,
∴x≥y≥0,
∴原方程转化为:x2+y=4018,
∴x2≤4018≤x2+x,
∴x=63,
∴y=4018-632=49,
∴a+b=63,a-b=49,解得a=56,b=7.
故答案为56,7.