匀变速直线运动规律推论及推论过程

专题一匀变速直线运动的三个推论
\x091. 在连续相等的时间（T）内的位移之差为一恒定值,即△s= aT2（又称匀变速直线运动的判别式）
\x09进一步推证得……
\x092. 某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度
\x09即
\x093. 某段位移内中间位置的瞬间速度与这段位移的初、末速度和的关系为
\x09
\x09讨论：在同一段匀变速直线运动中,对于加速或是减速,与有何关系?
\x09分析：若物体做匀加速直线运动,如图甲所示,物体由A到B历时t,而经物体的位移不到一半,即经,物体在中间位置O的左侧,所以.
\x09若物体做匀减速直线运动,如图乙所示,物体由A到B历时t,而经物体的位移已大于整个位移的一半,即达到O点的右侧,由于是减速,所以.
\x09综上可知：物体做匀变速直线运动时,某段位移上中间时刻的速度小于中间位置的速度.
\x09即
\x09
\x09例1、一个做匀加速直线运动的质点,在连续相等的两个时间间隔内,通过的位移分别是24m,64m,每一个时间间隔为4s,求质点的初速度和加速度.
\x09分析：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述,因而选择不同的公式,所对应的解法也不同.如：
\x09解法Ⅰ：基本公式法：画出运动过程示意图,如图所示,因题目中只涉及位移与时间,故选择位移公式：
\x09
\x09
\x09将、、代入上式解得：
\x09解法Ⅱ：用平均速度公式：
\x09连续的两段时间t内的平均速度分别为：
\x09
\x09B点是AC段的中间时刻,则
\x09
\x09得：
\x09
\x09解法Ⅲ：用特殊式——判别式
\x09由△s= 得
\x09再由解得
\x09评注：①运动学问题的求解一般均有多种解法,进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律,提高灵活运用知识的能力.从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法,从而形成解题能力.②对一般的匀变速直线运动问题,若出现相等的时间间隔问题,应优先考虑用判别式△s=求解.
\x09
\x09例2、某市规定,车辆在市区内行驶的速度不得超过40 km/h,有一辆车遇到情况紧急刹车后,经时间停止,量得路面刹车的痕迹长为s=9m,问这辆车是否违章（刹车后做匀减速运动）?
\x09分析：本题隐含了末速度为零的条件,求出初速度就可判定.
\x09由于车做匀减速直线运动,则平均速度
\x09又因为
\x09所以
\x09解得v0=12m/s=43.2km/h>40km/h
\x09故可判断此车违章
\x09
\x09例3、从斜面上某一位置,每隔0.1 s释放一颗小球,在连续释放几颗后,对在斜面上滑动的小球拍下照片,如图所示,测得sAB=15cm,sBC=20cm,试求：
\x09（1）小球的加速度
\x09（2）拍摄时B球的速度vB=?
\x09（3）拍摄时sCD=?
\x09（4）A球上面滚动的小球还有几颗?
\x09分析：释放后小球都做匀加速直线运动,每相邻两球的时间间隔为0.1s,可以认为A、B、C、D各点是一个球在不同时刻的位置.
\x09（1）由知,小球的加速度

（2）B点的速度等于AC段上的平均速度
即
（3）由于相邻相等时间的位移差恒定
即
\x09所以
\x09（4）设A点小球的速度为
\x09由于=+
\x09则
\x09所以A球的运动时间
\x09
\x09故在A球上方正在滚动的小球还有2颗
\x09评注：利用推论结合基本公式求解运动学问题非常方便.
专题二 初速为零的匀变速运动的比例式
设t =0开始计时,以T为时间单位.则
（1）1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…… = 1∶2∶3∶……
（2）第一个T内,第二个T内,第三个T内……位移之比,sI∶sⅡ∶sⅢ∶……= 1∶3∶5∶……∶（2n－1）

（3）1T内、2T内、3T内……位移之比s1∶s2∶s3∶……= 12∶22∶32∶……

（4）通过连续相同的位移所用时间之比
……=……
\x09
\x09例1、一滑块自静止开始,从斜面顶端匀加速下滑,第5 s末的速度是6 m／s,试求（1）第4 s末的速度；（2）运动后7 s内的位移；（3）第3 s内的位移
\x09分析：物体的初速度v0=0,且加速度恒定,可用推论求解.
\x09（1）因为所以,即∝t
\x09故
\x09第4s末的速度
\x09（2）前5 s的位移

\x09由于s ∝t 2
\x09所以
\x09故7 s内的位移

（3）利用sI∶sⅢ= 1∶5知
\x09第3s内的位移sⅢ=5sI=5×0.6 m=3 m
\x09
\x09例2、一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动,最初3 s内的位移为s1 ,最后3s内的位移为s2,已知s2－s1=6 m；s1∶s2=3∶7,求斜面的总长.
分析：由题意知,物体做初速度等于零的匀加速直线运动,相等的时间间隔为3s.
由题意知
解得s1=4.5 m s2=10.5 m
由于连续相等时间内位移的比为l∶3∶5∶……∶（2n－1）
故sn=（2n－1）sl
可知10.5 = （2n－1）4.5
解得n =
又因为s总 = n2s1
得斜面总长s总 = ×4.5=12.5 m
评注：切忌认为物体沿斜面运动了6 s,本题中前3 s的后一段时间与后3s的前一段时间是重合的.
例3、一列车由等长的车厢连接而成. 车厢之间的间隙忽略不计,一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐.当列车由静止开始做匀加速直线运动时开始计时,测量第一节车厢通过他的时间为2s,则从第5节至第16节车厢通过他的时间为多少?
分析：此题若以车为研究对象,由于车不能简化为质点,不便分析,故取车为参考系,把车的运动转化为人做匀加速直线运动.
\x09据通过连续相等的位移所用时间之比为
\x09……得
\x09
\x09所以所求时间△t=4 s
\x09另一般解法如下：
\x09设每节车厢长为s,加速度为a,则人通过第一节车厢的时间
\x09则人通过前4节车厢的时间为
\x09人通过前16节车厢的时间为
\x09故所求时间.
\x09评注：运动学题目的解法多种多样,但总有一些解法比较简单,希望在掌握基本解法的基础上多考虑一些不同的解题方法.