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设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b/x，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点处f（x）与g（x）有公切线．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）设x＞0，试比较f（x）与g（x）的大小．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 10:56:07

问题描述：

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+

b

x

，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点处f（x）与g（x）有公切线．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设x＞0，试比较f（x）与g（x）的大小．

答

（I）由题意：f'（x）=

1

x

，g'（x）=a-

b

x2

，（2分）
∴由题意可得：

a+b=0

a-b=1

⇒

a=

1

2

b=-

1

2

．（5分）
（11）由（I）可知g（x）=

1

2

（x-

1

x

），令F（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

（x-

1

x

）．．
∵F'（x）=

1

x

-

1

2

（1+

1

x2

）=-

1

2

（1+

1

x2

-

2

x

）=-

1

2

(1-

1

x

)2≤0，（8分）
∴F（x）是（0，+∞）上的减函数，而F（1）=0，（9分）
∴当x∈（0，1）时，F（x）＞0，有f（x）＞g（x）；
当x∈（1，+∞）时，F（x）＜0，有f（x）＜g（x）；
当x=1时，F（x）=0，有f（x）=g（x）．（12分）