已知函数f(x)＝3sinxcosx−cos2x−1/2，x∈R． （1）求函数f（x）的最大值和最小正周期； （2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．
问题描述：
已知函数f(x)＝
sinxcosx−cos2x−
3
，x∈R．1 2
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．
答
（1）f(x)＝
sin2x−
3
2
−1+cos2x 2
＝sin(2x−1 2
)−1…．（3分）π 6
∵−1≤sin(2x−
)≤1，∴−2≤sin(2x−π 6
)−1≤0，∴f（x）的最大值为0，π 6
最小正周期是T＝
＝π…（6分）2π 2
（2）由f(C)＝sin(2C−
)−1＝0，可得sin(2C−π 6
)＝1π 6
∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴−
＜2C−π 6
＜π 6
π11 6
∴2C−
＝π 6
，∴C＝π 2
π 3
∵sin（A+C）=2sinA，∴由正弦定理得
＝a b
①…（9分）1 2
由余弦定理得c2＝a2+b2−2abcos
π 3
∵c=3
∴9=a2+b2-ab②
由①②解得a＝
，b＝2
3
…（12分）
3