在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB‖CD,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4√5
问题描述：
在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB‖CD,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4√5
(1)设M是PC上的一点,证明平面MBD⊥平面PAD
(2)求四棱锥P-ABCD的体积
答
1）由勾股定理可知：△ADB为直角三角形,角ADB为直角,即BD⊥AD,
又由平面PAD⊥平面ABCD可得：BD⊥平面PAD,
因BD在平面MBD上,故平面MBD⊥平面PAD
2）四边形ABCD的面积＝△ADB的面积＋△CDB的面积
△CDB与△ADB具有相同的高,而底边AB=2DC,
故△CDB的面积＝△ADB的面积的一半
故四边形ABCD的面积＝△ADB的面积×1．5＝4×8÷2×1．5＝24
四棱锥P-ABCD的高＝2√3
故四棱锥P-ABCD的体积＝24×2√3÷3＝16√3