在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABC是边长为2的菱形,角BAD为60,M为PC中点,
问题描述：
在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABC是边长为2的菱形,角BAD为60,M为PC中点,
求PA平行BDM,求AC于面ADM所成角的正弦值.
答
1、连结AC、BD,交于O点,连结OM,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=CO,（菱形对角线互相垂直平分）,
∵PM=CM,（已知）,
∴OM是△CAP的中位线,
∴PA//OM,
∵OM∈平面BDM,
∴PA//平面BDM.
2、在平面PAC上作CH⊥PA,交PA于H,
∵PA//平面BDM,
∴<PAC 与AC和平面BDM所成角相等,
∵<BAD=60°,
∴△ABD是正△,
BD=AB=2,AO=√3OB=√3,
∴AC=2√3,
在平面PAD上作PH⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴PH⊥平面ABCD,
PH=√3,在△AHC中,<D=120°,根据余弦定理,CH=√7,
∵CH∈平面ABCD,
∴PH⊥CH,
∴△PHC是RT△,
在△PHC中,根据勾股定理,
PC=√（PH^2+CH^2)=√10,
在△PAC中,根据余弦定理,
cos<PAC=（PA^2+AC^2-PC^2)/(2PA*AC)=(4+12-10)/(2*2*2√3）=√3/4,
∴sin<PAC=√（1-3/16）=√13/4,
∴AC与平面ADM所成角的正弦值为√13/4.