关于常微分方程的一个问题
问题描述：
关于常微分方程的一个问题
王*版的《常微分方程》书上有个这样两个定理,①若x1（t）,x2（2）,……,xn（t）在区间a≤t≤b上线性相关,则在[a,b]上它们的朗斯基(Wtonsky）行列式W（t）≡0②如果齐次线性微分方程的解x1（t）,x2（t）,…,xn（t）在区间a≤t≤b上线性无关,则其朗斯基行列式W（t）在这个区间的任何点上都不等于0,即W（t）≠0（a≤b≤t）
书上专门说明了定理①的逆命题不正确,举出来的例子是两个分段函数,分别是x1（t）=t乘以t（-1≤t＜0）或0（0≤t≤1）,x2（t）=0（-1≤t＜0）或t乘以t（0≤t≤1）,它们的W（t）≡0,但它们线性相关……我想问的是令W（t）≡0又线性无关的x1（t）,x2（t）,…,xn（t）是不是一定不是齐次线性微分方程的解函数?它们可不可以是非齐次线性微分方程的解函数?需要证明……谢谢啦
定理②成立可知其逆否命题一定成立，故可知若x1（t），x2（t），xn（t）是解函数（条件A），又有其W（t）≡0（条件B）可得x1（t），x2（t），xn（t）线性无关（结论C），我想知道由条件B加上结论C是否可得到条件A
答
W(t)≡0,且x1,x2,…,xn线性无关,那么x1,x2,…,xn一定不是齐次线性方程组的解,∵在证明了解的存在唯一性时,就已经证明了：“x1,x2,x3,…,xn线性无关”等价于“x1(t0),x2(t0),x3(t0),…,xn(t0)线性无关,对任意(也可表...