关于初等矩阵的初等行变换和特征值的问题
问题描述：
关于初等矩阵的初等行变换和特征值的问题
1、一个可逆矩阵经过初等行变换后变为阶梯矩阵后, 该阶梯矩阵依旧可逆吗?为什么?
2、一个方块矩阵经过初等行变换后变为阶梯矩阵后, 该阶梯矩阵是否拥有和原矩阵相同的特征值?如果有,为什么?没有, 又为什么?
答
1.当然可逆了,因为两个矩阵的秩没变(初等行(列)变换不改变矩阵的秩),都是满秩阵,都可逆.
2.不会具有相同的特征值了.你想,原矩阵的特征值是一定的,不变的,但你化成的阶梯形的方阵的特征值显然是总变的,每次化成的阶梯形不同,特征值就会不同.最简单的例子,你把一个可逆阵化成单位阵,那特征值能一样吗.特征值是通过Ax＝lamda*x这个式子来定义lamda的,但同时也是必须满足|lamda*E-A|=0这个方程的,所以特征值对于一个矩阵来讲是不会变的.而和特征值对应的特征向量必定是满足齐次线性方程组(lamda*E-A)x=0的,这个方程组的解无穷多,都是特征向量,你说的"特征向量变",如果变了仍是此方程的解就没问题(即特征向量变，而仍然使Ax＝lamda*x等式成立). 但特征向量要是变成别的向量,(即不再是方程组(lamda*E-A)x=0的解了),那就肯定没有这个Ax＝lamda*x等式成立的结论了. 2 问中你可以自己找个3阶简单的方阵化一下试试,不久可以了么,找出一个反例应该不难.