已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为 _ .

问题描述:

已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为 ___ .

由题意知,设抛物线的准线方程为l,抛物线的准线方程为y=-1,过A做AA1⊥l于A1
过B做BB1⊥l与B1,设弦AB的中点为M,过M做MM1⊥l于M1
则|MM1|=

|AA1|+|BB1|
2
,|AB|≤|AF|+|BF|,(F为抛物线的焦点),
即|AF|+|BF|≥6,
∵|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|
∴|AA1|+|BB1|≥6,
∴2|MM1|≥6,|MM1|≥3,
∴M到x轴的最短距离为:3-1=2.
故答案为:2