已知函数f(x)＝13x3+x2−2．（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3．若点（an，an+12-2an+1）（n∈N*）在函数y=f′（x）的图象上，求证：点（n，Sn）也在y=f′（x）的图象上；（Ⅱ）求函数f（x）在区间（a-1，a）内的极值．
问题描述：
已知函数f(x)＝
x3+x2−2．1 3
（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3．若点（an，an+12-2an+1）（n∈N*）在函数y=f′（x）的图象上，求证：点（n，Sn）也在y=f′（x）的图象上；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（a-1，a）内的极值．
答
知识点：本题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．对于a的讨论标准找不到或对其讨论不全造成结果错误．分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一，所以希望能加强这方面的训练．
（Ⅰ）证明：因为f(x)＝13x3+x2−2，所以f′（x）=x2+2x，由点（an，an+12-2an+1）（n∈N+）在函数y=f′（x）的图象上，又an＞0（n∈N+），所以（an-1-an）（an+1-an-2）=0，所以Sn＝3n+n(n−1)2×2＝n2+2n，又因为f...
答案解析：（Ⅰ）由题意知f′（x）=x2+2x，由点（an，an+12-2an+1）（n∈N+）在函数y=f′（x）的图象上，知（an-1-an）（an+1-an-2）=0，所以Sn＝3n+
×2＝n2+2n=f'（n），故点（n，Sn）也在函数y=f′（x）的图象上．n(n−1) 2
（Ⅱ）由f'（x）=0，得x=0或x=-2．然后列表求解函数f（x）在区间（a-1，a）内的极值．
考试点：数列的应用．
知识点：本题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．对于a的讨论标准找不到或对其讨论不全造成结果错误．分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一，所以希望能加强这方面的训练．