直角三角形中使矩形面积最大的问题.如直角三角形两直角边分别为a、b,矩形一角与三角形的直角重合,问如何使矩形面积最大?似乎是矩形顶点位于斜边中点时面积最大,请问如果用函数证明呢?

题目少一个条件，就是矩形另一对角点在三角形斜边上。
假设矩形在a上的长度为x，在b上的长度为y。
于是：
x,y满足关系式：y= b- b/a*x （以直角两边为坐标轴，可得斜边为此式）
则xy= bx - b/a * x^2
于是 a/b * xy = ax - x^2
即 a/b * xy = -(a^2)/4 + ax - x^2 + (a^2)/4 = -(a/2 - x)^2 + (a^2)/4
为使xy最大，则x=a/2，于是y也就=b/2

如图，设矩形的边CN=x，根据RT△ABC∽RT△PBN求得PN=b(a-x)/a

所以：设矩形MCNP的面积为y，则有

y=x*b(a-x)/a

即：y=-(b/a)x²+bx

对于函数y=-(b/a)x²+bx来说，二次项系数-b/a<0，所以函数有最大值，当x=-b/(-2b/a)=a/2时，y值最值

所以：N点是BC的中点，

而PN∥AC，

所以：P点是AB的中点。

也就是说，当矩形的顶点位于斜边中点时矩形面积最大。

如果用勾股定理太复杂，只需要利用矩形面积即可明确内接矩形时a，b与矩形边长x，y的关系
知道，xy=0.5ab-0.5x(b-y)-0.5y(b-x),化简得ab=ax+by
则xy=（b-by/a)y=-by^2/a+by，则当且仅当y=a/2时取最大值，此时x=b/2
最大面积为ab/4
x在a边上，y在b边上

设RT△ABC，矩形DECF内接于△ABC，E在AC上，D在AB上，F在BC上，<C=90°，

设DE=x,AC=b,BC=a,

DE//CB，

DF//AC，

△AED∽△ACB，

DE/CB=AE/AC,

x/a=AE/b,

AE=bx/a,

CE=b-bx/a=b(a-x)/a,

S矩形DECF=DE*CE=xb(a-x)/a=(-b/a)(x^2-ax+a^2/4)+ab/4=(-b/a)(x-a/2)^2+ab/4,

当x=a/2时，有最大值为ab/4,

∴DE=a/2,即D为AB中点时矩形有最大面积。

学过二次函数么?学过就好解了,木有学过就麻烦了.先画一个图,三角形两直角边为a、b,设矩形在直角边a上面的长为X,根据相似三角形性质,可以得到矩形另一边的长为：(a-X)b/a,(如果这个式子不理解,去初中回炉),那么矩形面...

如图，设在a上的那一条边的边长为x，则

S=x*b(a-x)/a= (b/a)(a-x)x = -(b/a)[(x-a/2)^2- a^2/4]

x= a/2时S最大,为ab/4