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已知函数f（x）=3xx+3，数列{xn}的通项由xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N+）确定．（Ⅰ）求证：{1xn}是等差数列； （Ⅱ）当x1=12时，求x100．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:49:49
问题描述：

已知函数f（x）=

3x
x+3
，数列{xn}的通项由xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N+）确定．
（Ⅰ）求证：{
1
xn
}是等差数列； 
（Ⅱ）当x1=
1
2
时，求x100．

答

（Ⅰ）证明：∵xn=f（xn-1）=

3xn−1
xn−1+3

∴
1
xn
=
1
3
+
1
xn−1

∴
1
xn
−
1
xn−1
＝
1
3

∴{
1
xn
}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
1
xn
=2+（n-1）×
1
3
=
n+5
3

∴x100=
3
105
=
1
35

答案解析：（Ⅰ）根据xn=f（xn-1）=
3xn−1
xn−1+3
，两边取倒数，即可证得 {
1
xn
}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
1
xn
=2+（n-1）×
1
3
=
n+5
3
，由此可求x100．
考试点：等差关系的确定；等差数列的通项公式．

知识点：本题考查等差数列的证明，考查通项的运用，两边取倒数是关键．

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