近世代数题设H1 ,H2.Hn都是G的子群,任意i,j ,ai∈Hi,aj∈Hj,aiaj=ajai成立,又假定G中每个元素都可以表示成b1b2.bn,其中bi∈Hi,证明每个Hi都是G的正规子群.
问题描述：
近世代数题
设H1 ,H2.Hn都是G的子群,任意i,j ,ai∈Hi,aj∈Hj,aiaj=ajai成立,又假定G中每个元素都可以表示成b1b2.bn,其中bi∈Hi,证明每个Hi都是G的正规子群.
答
任取a∈ Hi,以及g∈ G,根据题目可知,g可以写成
b1b2……bn
那么
g^{-1}ag=bn^{-1}……b2^{-1}b1^{-1}ab1b2……bn
=bn^{-1}……b2^{-1}b1^{-1}b1b2……bna
=a∈ Hi
这便说明Hi是正规子群.
第二个等号用到了题目中的交换性