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椭圆焦点在x轴，离心率为32，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 09:46:57
问题描述：

椭圆焦点在x轴，离心率为

 3
2
，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

答

设椭圆方程

x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
∵e=
 3
2
，∴a2=4b2，即a=2b．
∴椭圆方程为
x2
4b2
+
y2
b2
=1．
把直线方程代入化简得5x2-8x+4-4b2=0．
设M（x1，y1）、N（x2，y2），则
x1+x2=
8
5
，x1x2=
1
5
（4-4b2）．
∴y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2=
1
5
（1-4b2）．
由于OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0．
解得b2=
5
8
，a2=
5
2
．
∴椭圆方程为
2
5
x2+
8
5
y2=1．
答案解析：设出椭圆的方程，然后根据题意将已知代入方程，并运用设而不求韦达定理求出参数a，b．最后写出椭圆方程．
考试点：双曲线的应用．

知识点：本题考查双曲线与椭圆方程的应用，根据双曲线方程，设出椭圆方程，并根据已知求解．考查了学生对双曲线以及椭圆知识的糅合，属于中档题．

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