如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝2a． （1）求证：面PAB⊥面ABC； （2）求PC和△ABC所在平面所成角．
问题描述：
如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝
a．
2
（1）求证：面PAB⊥面ABC；
（2）求PC和△ABC所在平面所成角．
答
（1）取AB的中点O，连PO，CO．
∵PA=PB，OA=OB，∴PO⊥AB．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴OA=OB=OC，
∵PA=PB=PC，PO是公用边
∴△POA≌△POB≌△POC，得∠POA=∠POB=∠POC=90°，
∴PO⊥CO，
∵AB⊥CO，AB∩PO=O，∴PO⊥平面ABC，
∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．
（2）由（1）知PO⊥平面ABC，
∵PO⊥平面ABC，∴CO是PC在平面ABC内的射影，
所以∠PCO是PC和平面ABC所成角．
∵PO＝
＝
PB2−OB2
a，PC＝
6
2
a，
2
∴Rt△PCO中，sin∠PCO=
＝PO PC
，得∠PCO=60°
3
2
即PC和△ABC所在平面所成角为60°．