在正方体ABCD—A1B1C1D1中,二面角D1—AC—A1的余弦值为()A.3分之根号3B.3分之根号
问题描述：
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,二面角D1—AC—A1的余弦值为()A.3分之根号3B.3分之根号
答
选项A正确.
连结AC.BD,交点为O,连结A1C1.B1D1,交点为O1,连结OO1,
则易知OO1⊥平面A1B1C1D1
所以D1O在平面A1B1C1D1内的射影为D1O1
又D1O1⊥A1C1,所以：
由三垂线定理可得：D1O⊥A1C1
因为AC//A1C1,所以D1O⊥AC
又D1O在半平面D1AC内,OO1在半平面A1AC内,且D1O与OO1交于点O
所以∠D1OO1就是二面角D1—AC—A1的平面角
设正方体的棱长为a,则：
易得D1O=√2a/2,OO1=a,D1O=√(D1O²+OO1²)=√6a/2
所以：cos∠D1OO1=OO1/D1O=a/(√6a/2)=2/√6=√3/3