1.对于实数x,y,代数式x^2+xy+y^2的最小值为?2.设X1,X2…,X19是正整数,且满足X1+X2+…+X19=95,则X1^2+X2^2+…+X19^2的最大值为?3.求函数y=（4-x）+2√（x^2+9）的最值.

1.当x，y异号时，x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy>=0,
在x=y=0时等号成立，取最小值0；
当x，y同号时，x^2+xy+y^2=(x-y)^2+3xy>=0
在x=y=0时等号成立，取最小值0.
综上，x^2+xy+y^2的最小值为0，当x=y=0时取得。
2.引理 设x，y为正整数，且x+y=C，C为给定的正整数，则x^2+y^2在x，y取1和C-1 时取的最大值。
证：假设x=m，n=y,m.n为正整数，且2= 则(m-1)^2+(n+1)^2=m^2+n^2+2+2(n-m)>m^2+n^2 与假设矛盾，
所以x，y在取1和C-1时x^2+y^2取最大值。
由引理 当x1,x2,...,x19其中18个取1一个取77时有最大值18+77^2=5947
若不然，不妨假设(x1,x2,...,x19)=(a1,a2,...,a19)时取的最大值，其中
2= (a1-1)^2+(a2+1)^2+a3^2+...+a19^2>a1^2+a2^2+...+a19^2
与假设矛盾。
所以 当x1,x2,...,x19其中18个取1一个取77时x1^2+x2^2+...+x19^2取最大值18+77^2=5947。
3. 学过导数，可直接求导y'=-1+2x/√(x^2+9)
令y’=0解得x=√3，当x√3时y'>0,函数单调增加，所以函数有最小值，当x=√3时取得y=4+3√3
若没学过导数，由y=(4-x)+2√(x^2+9)=4+2√(x^2+9)-x求最值转化为求
2√(x^2+9)-x的最值问题。
令2√(x^2+9)-x=a(显然a>0，分x小于0、等于0、大于0讨论即可得出）
移项后平方得4x^2+36=x^2+2ax+a^2
把含x的项移到等式左端，然后配平方得到3（x-a/3)^2+36=4a^2/3
所以4a^2/3=0解得a>=3√3,当x=a/3=√3时取等号
及x=√3时2√(x^2+9)-x有最小值3√3,
y=(4-x)+2√(x^2+9)=4+2√(x^2+9)-x有最小值4+3√3。

1.
3xy
2.19*25=475
3.是极值吧
当x=-√3 有极大值
当x=√3 有极小值

1.x²+xy+y²=x²-2xy+y²+3xy=(x-y)²+3xy≥3xyx,y没有具体值 这个只有到这了2.设x+y=t(t为定值),x²+y²=x²+(t-x)²=2x²-2xt+1/2t²+1/2t²=2(x-1/2t)²+1...