已知正整数x1 、 x2 、x3 、 x4 、 x5、,且x1 + x2 + x3+ x4 + x5= x1 x2 x3 x4 x5.求x5的最大值.

X5=(x1 + x2 + x3+ x4 )/( x1 x2 x3 x4 -1) （x1 、 x2 、x3 、 x4 都是1是不可能的）
若x1 、 x2 、x3 、 x4 中有3个是1，那么X5=(3+ x )/( x -1) 是正数，那么
(X5,x)=(5,2)或者(3,3)或者(2,5)
若x1 、 x2 、x3 、 x4 中至多2个是1，设为X3,X4那么x1 + x2 + x3+ x4 故X5综上知道，X5最大是5
(x1,x2,x3,x4,x5)=(1,1,1,2,5)

由于等号两边都是轮换对称式,故x1到x5的地位都是相同的.
不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5
则有：x1+x2+x3+x4≤4x5
原式变换后代入：x1+x2+x3+x4=(x1x2x3x4-1)x5≤4x5
故：x1x2x3x4≤5
分情况讨论：
1）若x1x2x3x4=5,则四个数分别为1、1、1、5,x5=2,与假设矛盾.
2）若x1x2x3x4=4,则四个数分别为1、1、1、4（无解）或1、1、2、2,x5=2.
3）若x1x2x3x4=3,则四个数分别为1、1、1、3,x5=3.
4）若x1x2x3x4=2,则四个数分别为1、1、1、2,x5=5.
5）若x1x2x3x4=1,则四个数分别为1、1、1、1,无解.
综上,x5最大值为5.