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已知二次函数f（x）的二次项系数a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）． （1）若方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式； （2）若函数f（x）的最小值不大于-3a，且

分类: 作业答案 • 2021-12-20 08:57:37
问题描述：

已知二次函数f（x）的二次项系数a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
（1）若方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最小值不大于-3a，且函数G(x)＝f(x)−

1
3
x3−ax2−
3
2
x在R上为减函数，求实数a的取值范围．

答

（1）设二次函数为f（x）=ax2+bx+c
∵f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
∴-1，2是方程ax2+（b-2）x+c=0的两个根
∴

1 ＝
2−b
a
−2＝
c
a
①
∵方程f（x）+3a=0有两个相等的实根即
ax2+bx+c+3a=0有两个相等的实根
∴△=b2-4a（c+3a）=0②
解①②得a＝
2
3
，b＝
4
3
，c＝−
4
3

∴f(x)＝
2
3
x2+
4
3
x−
4
3

（2）根据题意得f(x)＝ax2+(2−a)x−2a＝a(x+
2−a
2a
)2+
−8a2−(2−a)2
4a

∵a＞0，所以f（x）的最小值为
−8a2−(2−a)2
4a

则
−8a2−(2−a)2
4a
≤−3a
得−2≤a≤
2
3

由G(x)＝f(x)−
1
3
x3−ax2−
3
2
x在R上是减函数，
G′(x)＝−x2 +
1
2
−a ≤0在R上恒成立
∴
1
2
−a≤0
得到a≥
1
2
，
综上所述
1
2
≤a≤
2
3

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