已知函数f（x）=x+1x（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义判断f（x）在（0，1）上的单调性．
问题描述：
已知函数f（x）=x+
1 x
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义判断f（x）在（0，1）上的单调性．
答
（1）f（x）=x+
为定义域内的奇函数．1 x
证明如下：
∵函数f（x）=x+
的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，1 x
又f（-x）=-x+
=-（x+1 −x
）=-f（x），1 x
∴f（x）=x+
为定义域内的奇函数；1 x
（2）证明：设x1，x2是（0，1）内的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)−f(x2)＝x1+
−(x2+1 x1
)=(x1−x2)−1 x2
=(x1−x2)(1−
x1−x2
x1x2
)．
x1−x2
x1x2
∵x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，
∴x1−x2＜0，1−
＜0．1
x1x2
则(x1−x2)(1−
)＞0．1
x1x2
即f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在（0，1）上为减函数．
答案解析：（1）求出函数的定义域，然后直接利用函数奇偶性的定义证明；
（2）直接利用函数单调性的定义加以证明．
考试点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
知识点：本题考查了函数奇偶性和单调性的判定方法，关键是对于步骤的写法，是基础题．