设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则11+an+11+bn的最小值为（ ）A. 12B. 22C. 1D. 2
问题描述：
设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则
+1 1+an
的最小值为（ ）1 1+bn
A.
1 2
B.
2
2
C. 1
D.
2
答
+1 1+an
=1 1+bn
=1-
an+bn+2 (1+an)(1+bn)
(ab)n−1 (1+an)(1+bn)
要使
+1 1+an
取得最小值，则1 1+bn
取得最大值
(ab)n−1 (1+an)(1+bn)
∵a、b为正实数，a+b=2，a+b≥2
，∴0＜ab≤1
ab
∵n为自然数，∴（ab）n-1≤1-1=0
当且仅当（ab）n=1时，（ab）n-1取得最大值0
∴a=b=1时，原式有最小值1．
故选C．
答案解析：将所求式变形，再利用基本不等式，即可求得最小值．
考试点：柯西不等式在函数极值中的应用．
知识点：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．