如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．①求证：FD=FG；②若BC=4，AB=6，试求AE的长．
问题描述：
如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
①求证：FD=FG；
②若BC=4，AB=6，试求AE的长．
答
（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°．∵∠MAC=∠ABC，∴∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB，∴MN是⊙O的切线．（2）①证明：∵D是弧AC的中点，∴∠DBC=∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB=90°；∵DE...
答案解析：（1）即证∠MAC+∠CAB=90°．因为AB为直径，所以∠ACB=90°，∠ABC+∠CAB=90°．由∠MAC=∠ABC得证．
（2）①证明∠BDE=∠DGF即可．∠BDE=90°-∠ABD；∠DGF=∠CGB=90°-∠CBD．因为D是弧AC的中点，所以∠ABD=∠CBD．问题得证．
②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明Rt△ADE≌Rt△CDH，得AE=CH．根据AB=BH求解．
考试点：切线的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．
知识点：此题考查了切线的判定、等腰三角形的判定、三角形全等等知识点，综合性强；特别是最后一个问题构造全等三角形求解，难度较大．