设a,b,c为正实数,求证:1a3+1b3+1c3+abc≥23.
问题描述:
设a,b,c为正实数,求证:
+1 a3
+1 b3
+abc≥21 c3
.
3
答
证明:因为a,b,c为正实数,由平均不等式可得 1a3+1b3+1c3≥331a3•1b3•1c3,即 1a3+1b3+1c3≥3abc,所以,1a3+1b3+1c3+abc≥3abc+abc,而 3abc+abc≥23abc•abc=23,所以,1a3+1b3+1c3+abc≥23...
答案解析:先根据平均值不等式证明
+1 a3
+1 b3
+abc≥1 c3
+abc,再证 3 abc
+abc≥23 abc
=2
•abc3 abc
.
3
考试点:平均值不等式;不等式的证明.
知识点:本题考查平均值不等式的应用,n个正数的算术平均数
大于或等于它们的几何平均数
a1+a2+…+an
n
.
n
a1•a2…an