设a,b,c为正实数,求证:1a3+1b3+1c3+abc≥23.

问题描述:

设a,b,c为正实数,求证:

1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥2
3

证明:因为a,b,c为正实数,由平均不等式可得 1a3+1b3+1c3≥331a3•1b3•1c3,即   1a3+1b3+1c3≥3abc,所以,1a3+1b3+1c3+abc≥3abc+abc,而  3abc+abc≥23abc•abc=23,所以,1a3+1b3+1c3+abc≥23...
答案解析:先根据平均值不等式证明

1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥
3
abc
+abc,再证  
3
abc
+abc≥2
3
abc
•abc
=2
3

考试点:平均值不等式;不等式的证明.
知识点:本题考查平均值不等式的应用,n个正数的算术平均数
a1+a2+…+an
n
  大于或等于它们的几何平均数 
n a1a2an