已知两个自然数的积与和的差恰好等于他们的最大约数与最小公倍数之和,求这样的自然数.
问题描述：
已知两个自然数的积与和的差恰好等于他们的最大约数与最小公倍数之和,求这样的自然数.
答
分别是4和6,
设两数分解质因数后为a*b & a*c,则最大公约数为a,最小公倍数为abc,
根据题设得：ab*ac-(ab+ac)=a+abc,整理后得到abc=(b+1)(c+1)
把bc移到等式右边得到分式（b+1)(c+1)/bc,
由于a为自然数（并且一定是质数）,bc必能为（b+1)(c+1)整除,且b和c为分解质因数所得,故也为质数.
因此不妨设(b+1)(c+1)=2bc,即a=2,
整理得到b+c=bc-1,两边平方,整理得到4bc=(1+b)(1+c)(1-b)(1-c),
将该多项式除以(b+1)(c+1)=2bc得到(b-1)(c-1)=2,
因为b,c为自然数,所以b-1=1,c-1=2（b-1=2,c-1=1,都是一样的,这是一个轮换式）,
故得,b=2,c=3,则两数分别为4和6