开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即a3T2=k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知万有引力常量为G，太阳的质量为M太．
问题描述：
开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即
=k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知万有引力常量为G，太阳的质量为M太． a3 T2
答
因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r．根据万有引力定律和牛顿第二定律有
=m行(Gm行M太 r2
)2r ①2π T
于是有
=r3 T2
M太 ②G 4π2
即 k=
M太 G 4π2
答：太阳系中该常量k的表达式是 k=
M太．G 4π2
答案解析：行星绕太阳的运动按圆周运动处理时，此时轨道是圆，就没有半长轴了，此时
=k应改为a3 T2
=k，再由万有引力作为向心力列出方程可以求得常量k的表达式；r3 T2
考试点：开普勒定律．
知识点：本题就是考察学生对开普勒行星运动第三定律的理解和应用，掌握住开普勒行星运动第三定律和万有引力定律即可求得结果，式中的常量k必修是相对于同一个中心天体来说的．