设f（x）单调增加，存在连续导数，f（0）=0，f（a）=b，g（x）与f（x）互为反函数．证明：∫a0f（x）dx+∫b0g（x）dx=ab．
问题描述：
设f（x）单调增加，存在连续导数，f（0）=0，f（a）=b，g（x）与f（x）互为反函数．
证明：
f（x）dx+
∫
a
0
g（x）dx=ab．
∫
b
0
答
知识点：本题主要考查反函数的求导，本题属于基础题．
证明：设辅助函数F(x)＝
f(t)dt+
∫
x
0
g(t)dt−xf(x)．
∫
f(x)
0
因为F'（x）=f（x）+g[f（x）]f'（x）-f（x）-xf'（x）=0，
所以F（x）=C．
又 C=F（0）=0，
故 F（x）=0，F（a）=0．
又f（a）=b，
因此
f(x)dx+
∫
a
0
g(x)dx＝ab．
∫
b
0
所以得证．
答案解析：可以先设一个辅助函数，若辅助函数值为0，则得证，利用反函数的性质，求导即可．
考试点：定积分的几何意义；反函数的求导．
知识点：本题主要考查反函数的求导，本题属于基础题．