设f(x)可导.且f(x)导数>0,f(0)=0,f(a)=b,g(x)是f(X)的反函数,求∫f（x）dx（上a下o）+∫g（x）dx（b,0这是定积分的题目 由于输入问题 上a下0表示定积分的区间 高手帮忙呢
问题描述：
设f(x)可导.且f(x)导数>0,f(0)=0,f(a)=b,g(x)是f(X)的反函数,求∫f（x）dx（上a下o）+∫g（x）dx（b,0
这是定积分的题目 由于输入问题 上a下0表示定积分的区间 高手帮忙呢
答
由题易知y=f(x)=f(g(y)),x=g(y)=g(f(x)),则g(b)=g(f(a))=a,f(x)>=f(0)=0,g(y)>=g(0)=g(f(0))=0
而∫(0,a)f(x)dx+∫(0,b)g(x)dx
=∫(0,a)f(x)dx+∫(0,b)g(y)dy【当y=b,对应x=g(b),y=0,对应x=0代入】
=∫(0,a)f(x)dx+∫(0,g(b)) g(f(x))df(x)
=∫(0,a)f(x)dx+∫(0,a) g(f(x))df(x)
=∫(0,a)f(x)dx+f(x)g(f(x))|(0,a)-∫(0,a) f(x)dg(f(x))
=xf(x)|(0,a)+[∫(0,a)f(x)dx-∫(0,a) f(x)dx]
=af(a)
=ab
【注;紧跟积分符号后面的为积分区间】