用数学归纳法证明：1+1/根号2+1/根号3+.+1/根号n

令n=k时，成立，1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k当n=k+1时，上式左边=1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)，上式右边=2√k+1/√(k+1)，
∵4k²+4k则上式右边=2√k+1/√(k+1)

设k=n时原不等式成立,则k=n+1时,左=1+1/根号2^3+1/根号3^3+....+1/根号n^3+1/根号(n+1)^3
≤3-2/根号n+1/根号(n+1)^3
下证-2/根号n+1/根号(n+1)^3≤-2/根号(n+1)
而根号(n+1)+根号n≤2根号(n+1)
根号n≤根号(n+1)
根号(n+1)≤根号(n+1)
3个式子相乘有
[根号(n+1)+根号n]根号n(n+1)≤2根号(n+1)^3
所以2/[根号(n+1)+根号n]根号n(n+1)≥2/2根号(n+1)^3

设f(n)=2(√(n+1)-1)
g(n)= 1+1/√2+1/√3+....+1/√n
h(n)= 2√n
a=f(n)- f(n-1)=2(√(n+1)-√n)=2/(√(n+1)+√n)
b=g(n)-g(n-1)=1/√n=2/(2√n)
通过a b的比较，可知af(1)=2√2-2
g(1)=1 所以，f(1) 通过a所以，f(n)同理，c= h(n)- h(n-1)=2(√n-√(n-1))=2/(√n+√(n-1))
通过c b的比较，可知c>b
h(1)=2 所以，h(1)>g(1)
所以，h(n)>g(n)
综上所述 2(√n+1-1)

不用数学归纳法也可证明。
只须利用不等式
1√n＜2(√n-√(n-1))

n=2时,1+1/√2