已知共焦点的椭圆和双曲线,焦点为F1,F2,记它们其中的一个交点为P,且∠F1PF2=120°,则该椭圆离心率e1与双曲线离心率e2必定满足的关系式为( ) A.14e1+34e2=1 B.34e12 +14e22=1 C.34e12+1
问题描述:
已知共焦点的椭圆和双曲线,焦点为F1,F2,记它们其中的一个交点为P,且∠F1PF2=120°,则该椭圆离心率e1与双曲线离心率e2必定满足的关系式为( )
A.
e1+1 4
e2=13 4
B.
e12 +3 4
e22=11 4
C.
+3 4e12
=11 4e22
D.
+1 4e12
=1 3 4e22
答
由题意设焦距为2c,椭圆的长轴长2a,双曲线的实轴长为2m,不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②
又∠F1PF2=1200,故|PF1|2+|PF2|2+|PF1||PF2|=4c2 ③
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
-①2+②2得|PF1||PF2|=a2-m2⑤
将④⑤代入③得3a2+m2=4c2,即
+3 4×
c2 a2
=1,即1 4×
c2 m2
+3 4e12
=11 4e22
故选C