如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C
问题描述：
如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）
（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；
（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．
答
（1）由题意可知C（0，8），又A（6，0），
所以直线AC解析式为：y=-
x+8，4 3
因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为6-x，代入直线AC中得y=
x，4 3
所以P点坐标为（6-x，
x）；4 3
（2）设△MPA的面积为S，在△MPA中，MA=6-x，MA边上的高为
x，4 3
其中，0≤x＜6，
∴S=
（6-x）×1 2
x=4 3
（-x2+6x）=-2 3
（x-3）2+6，2 3
∴S的最大值为6，此时x=3；
（3）延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA
①若MP=PA，
∵PQ⊥MA，
∴MQ=QA=x，
∴3x=6，
∴x=2；
②若MP=MA，则MQ=6-2x，PQ=
x，PM=MA=6-x，4 3
在Rt△PMQ中，
∵PM2=MQ2+PQ2，
∴（6-x）2=（6-2x）2+（
x）2，4 3
∴x=
；108 43
③若PA=AM，
∵PA=
x，AM=6-x，5 3
∴
x=6-x，5 3
∴x=
，9 4
综上所述，x=2，或x=
，或x=108 43
．9 4