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已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时有f(m)+f(n)m+n>0．（1）判断f （x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：f（x+1/2）

分类: 作业答案 • 2021-12-19 20:38:32
问题描述：

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时有

f(m)+f(n)
m+n
>0．
（1）判断f （x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：f（x+
1
2
）<f（
1
x−1
）；
（3）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

答

（1）任取-1≤x1<x2≤1，则
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=

f(x1)+f(-x2)
x1-x2
•(x1-x2)
∵-1≤x1<x2≤1，∴x1+（-x2）≠0，
由已知
f(x1)+f(-x2)
x1-x2
>0，又x1-x2<0，
∴f（x1）-f（x2）<0，即f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）∵f（x）在[-1，1]上为增函数，
故有
-1≤x+
1
2
≤1
-1≤
1
x-1
≤1
x+
1
2
<
1
x-1
由此解得{x|-
3
2
≤x<-1}
（3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是增函数，
且f（1）=1，故对x∈[-l，1]，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤t2-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t2-2at+1≥1成立，故t2-2at≥0成立．
即g（a）=t2-2at对a∈[-1，1]，g（a）≥0恒成立，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于零．
故
t>0
g(1)≥0
或
t≤0
g(-1)≥0

解得：t≤-2或t=0或t≥2．

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