设函数f(x)=2x+44x+8 (Ⅰ)求f(x)的最大值; (Ⅱ)证明:对于任意实数a、b,恒有f(a)<b2-3b+21/4.

问题描述:

设函数f(x)=

2x+4
4x+8

(Ⅰ)求f(x)的最大值;
(Ⅱ)证明:对于任意实数a、b,恒有f(a)<b2-3b+
21
4

(1)∵f(x)=

242x
(2x)2+8
16
2x+
8
2x
16
2
2x
8
2x
=2
2

当且仅当2x
8
2x
时取等号,
∴f(x)的最大值为2
2

(2)由(1)知f(a)≤2
2

又∵b2−3b+
21
4
=(b−
3
2
)2+3≥3
>2
2

∴对于任意实数a,b,恒有f(a)<b2−3b+
21
4
成立.