设函数f(x)=2x+44x+8 (Ⅰ)求f(x)的最大值; (Ⅱ)证明:对于任意实数a、b,恒有f(a)<b2-3b+21/4.
问题描述:
设函数f(x)=
2x+4
4x+8
(Ⅰ)求f(x)的最大值;
(Ⅱ)证明:对于任意实数a、b,恒有f(a)<b2-3b+
. 21 4
答
(1)∵f(x)=
=
24•2x
(2x)2+8
≤16
2x+
8 2x
=216 2
2x•
8 2x
2
当且仅当2x=
时取等号,8 2x
∴f(x)的最大值为2
;
2
(2)由(1)知f(a)≤2
,
2
又∵b2−3b+
=(b−21 4
)2+3≥3>23 2
,
2
∴对于任意实数a,b,恒有f(a)<b2−3b+
成立.21 4