如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M， （1）求证：△PCM为等边三角形； （2）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．
问题描述：
如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M，
（1）求证：△PCM为等边三角形；
（2）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．
答
（1）证明：作PH⊥CM于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APC=∠ABC=60°，
∠BAC=∠BPC=60°，
∵CM∥BP，
∴∠BPC=∠PCM=60°，
∴△PCM为等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，
∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA，
∴∠BCP=∠ACM，
在△BCP和△ACM中，
，
BC＝AC ∠BCP＝∠ACM CP＝CM
∴△BCP≌△ACM（SAS），
∴PB=AM，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=
3 2
，
3
∴S梯形PBCM=
（PB+CM）×PH=1 2
×（2+3）×1 2
=3
3
2
15 4
．
3