有理数乘法法则的原理

有理数乘法法则为什么规定“同号两数相乘得正数,异号两数相乘得负数”?许多人试图用生活中的例子解释“同号两数相乘得正数”,仔细分析这些例子就会发现,它们中都有通不过的地方.其实,有理数乘法法则这样规定是因为要让有理数的乘法与加法有和谐的联系,即要使乘法对于加法的分配律在有理数集中仍然成立.我们在讲“有理数的乘法”一节时,先用一个实际生活中的例子：在一条东西向的笔直马路上,取一点O,以向东走的路程为正数,小玫从点O出发,以5千米/时的速度向西行走,那么经过3小时,她向西一共走了 千米.从这个例子看,自然应当有(-5)×3=-（5×3）.
试问：3×（-5）等于多少呢(-5)×（-3）应怎样计算呢?我们规定有理数的乘法法则时,应当要求它满足乘法对于加法的分配律,以便把乘法与加法联系起来.而如果它满足分配律,那么就会有
3×（-5）+3×5=3×[（-5）+5]=3×0=0
这表明了3×（-5）与3×5互为相反数,从而有
3×（-5）=-（3×5）.
由上面的探索,数学上规定：“异号两数相乘得负数,并且把绝对值相乘”.根据类似的理由,数学上规定：“任何数与0相乘,都得0”.类似地,如果有理数的乘法满足分配律,那么就会有
（-5）×（-3）+（-5）×3=（-5）×[（-3）+3]=（-5）×0=0.
这表明（-5）×（-3）与（-5）×3互为相反数,从而有
（-5）×（-3）=-[（-5）×3]=-[-（5×3）]=5×3.
因此,数学上规定：“同号两数相乘得正数,并且把绝对值相乘”.
我们这样讲有理数的乘法法则是真正讲出了为什么规定“同号两数相乘得正数”的道理；而且这种从有理数乘法满足分配律,去探索乘法法则应当怎样规定（这是探索有理数乘法满足分配律的必要条件）,后面接着讲从这样规定的有理数乘法法则可以得出分配律（这是论证的必要条件也是充分条件）,这是体现了数学的思维方式.
参考资料：要点：其实,有理数乘法法则这样规定是因为要让有理数的乘法与加法有和谐的联系