已知x=1是函数f(x)＝1/3ax3−3/2x2+(a+1)x+5的一个极值点． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=2x+m有三个交点，求实数m的取值范围．
问题描述：
已知x=1是函数f(x)＝
ax3−1 3
x2+(a+1)x+5的一个极值点．3 2
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=2x+m有三个交点，求实数m的取值范围．
答
（I）f′（x）=ax2-3x2+a+1
由f′（1）=0得：a-3+a+1=0
即a=1
∴f(x)＝
x3−1 3
x2+2x+53 2
（II）曲线y=f（x）与直线y=2x+m有三个交点
即
x3−1 3
x2+2x+5-2x-m=0有三个根3 2
即g（x）=
x3−1 3
x2+5−m有三个零点3 2
由g′（x）=x2-3x=0，得x=0或x=3
由g′（x）＞0得x＜0或x＞3，由g′（x）＜0得0＜x＜3
∴函数g（x）在（-∞，0）上为增函数，在（0，3）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数
要使g（x）有三个零点，
只需
即
g(0)＞0 g(3)＜0
5−m＞0
−m＜01 2
解得：
＜m＜51 2