已知函数f(x)＝1−2/2x+t（t是常实数）．（1）若函数的定义为R，求y=f（x）的值域；（2）若存在实数t使得y=f（x）是奇函数，证明y=f（x）的图象在g（x）=2x+1-1图象的下方．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 21:42:18

问题描述：

已知函数f(x)＝1−

2x+t

（t是常实数）．
（1）若函数的定义为R，求y=f（x）的值域；
（2）若存在实数t使得y=f（x）是奇函数，证明y=f（x）的图象在g（x）=2^x+1-1图象的下方．

答

（1）因为2^x+t≠0恒成立，所以t≥0，（2分）
当t=0时，y=f（x）的值域为（-∞，1）；（4分）
当t＞0时，由y＝1−

2x+t

得，2x＝

2−t+ty

1−y

＞0，
因而

y−(1−

)

y−1

＜0
即y=f（x）的值域为(1−

，1)．（6分）
（2）由y=f（x）是奇函数得t=1，所以f(x)＝1−

2x+1

（8分）
f(x)−g(x)＝1−

2x+1

−(2•2x−1)，f(x)−g(x)＝4−[

2x+1

+2(2x+1)]≤0（11分）
当“=”成立时，必有

2x+1

＝2(2x+1)，即2^x=0，此式显然不成立．（13分）
所以对任意实数x都有f（x）＜g（x）
即y=f（x）的图象在g（x）=2^x+1-1图象的下方．（14分）

已知函数f(x)＝1−2/2x+t（t是常实数）． （1）若函数的定义为R，求y=f（x）的值域； （2）若存在实数t使得y=f（x）是奇函数，证明y=f（x）的图象在g（x）=2x+1-1图象的下方．