如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是BM，CM的中点． （1）求证：四边形MENF是菱形； （2）当四边形MENF是正方形时，求证：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．
问题描述：
如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是BM，CM的中点．
（1）求证：四边形MENF是菱形；
（2）当四边形MENF是正方形时，求证：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．
答
（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D，
∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，
AM＝DM ∠A＝∠D AB＝DC
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM=CM，
∵点E，F，N分别是BM，CM，BC的中点，
∴EN=
CM，FN=1 2
BM，ME=1 2
BM，MF=1 2
CM，1 2
∴EN=FN=FM=EM，
∴四边形MENF是菱形．
（2）连结MN，
∵BM=CM，BN=CN，
∴MN⊥BC，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
∴MN是梯形ABCD的高，
又∵四边形MENF是正方形，
∴△BMC为直角三角形，
又∵N是BC的中点，
∴MN=
BC，1 2
即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．