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如图，已知AO是四面体ABCD的高，M是AO的中点，连接BM、CM、DM．求证：BM、CM、DM两两垂直．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 12:52:45
问题描述：

如图，已知AO是四面体ABCD的高，M是AO的中点，连接BM、CM、DM．求证：BM、CM、DM两两垂直．

答

证明：∵AO是四面体ABCD的高，∴AO垂直于面ABCD．
连接OB，OC，OD，则AO分别垂直于OB，OC，OD．
设正四面体ABCD的边长为a，
则AB=BC=CD=DA=a，OB=OC=OD=

3
3
a，
OA2=AD2-OD2，
OA=
6
a
3
，OM=
6
a
6
，
BM2=OM2+OB2，BM=CM=DM=
2
a
2
，
在三角形MBC中，MB2+MC2=BC2，符合勾股定理，
∴△MBC为直角三角形，且∠CMB=90°，
同理得出，∠CMD=∠DMB=∠BMC=90°，
∴BM，CM，DM两两垂直．

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