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已知函数f(x)＝sinx+3cosx， x∈R． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）若f(α−π3)＝6/5，α∈(0，π2)，求f(2α−π3)的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 12:06:55
问题描述：

已知函数f(x)＝sinx+

3
cosx， x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f(α−
π
3
)＝
6
5
，α∈(0，
π
2
)，求f(2α−
π
3
)的值．

答

（1）f(x)＝sinx+

3
cosx=2(
1
2
sinx+
3
2
cosx)=2sin(x+
π
3
)．
所以函数f（x）的最小正周期是2π．
（2）由（1）得，f(x)＝2sin(x+
π
3
)．
因为f(α−
π
3
)＝
6
5
，所以f(α−
π
3
)＝2sin(α−
π
3
+
π
3
)＝2sinα＝
6
5
．
即sinα＝
3
5
．    
因为α∈(0，
π
2
)，所以cosα＝
1−sin2α
＝
4
5
．
所以f(2α−
π
3
)＝2sin(2α−
π
3
+
π
3
)＝2sin2α
=4sinαcosα
=4×
3
5
×
4
5
=
48
25
．

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